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perguntou em Diversos por AstroNovato (970 pontos)
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O IPMA lança periodicamente um balão-sonda para medir parâmetros atmosféricos até cerca de 30 km de altitude.
Trata-se de um balão cheio de hélio que leva uma sonda e transmite via satélite.
Ao princípio eleva-se pelo princípio de Arquimedes.
Depois vai expandindo por diminuição da atmosfera até rebentar e cair.
Gostava de saber as equações matemáticas que descrevam o fenómeno e tendo em conta a pressão inicial do hélio, a pressão atmosférica (altitude), a variação de volume, etc.

  

1 Resposta

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respondida por Galáctico (26.8k pontos)
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Melhor resposta

É uma questão bem dentro da temática do "Astronomia Q&A", pois tem a ver com a atmosfera da Terra, terceiro planeta do sistema Solar.

Na  subida, a condição exigida é que o peso de gás mais o peso do balão e de todo o equipamento que viaja nele suspenso seja inferior à impulsão produzida pelo ar envolvente. Esta impulsão ( I ) vale I = "Ró" V g , sendo "Ró" a massa volúmica do ar, V o volume total do balão e g a aceleração da gravidade local.  Escrevo "Ró" por não ser possível inserir aqui a correspondente letra grega do mesmo nome, que seria o símbolo indicado.

O valor de g depende da altitude, mas decresce muito devagar com a altitude, pelo que podemos considerar, sem grande erro, que a 30 km de altitude o valor de g é praticamente o mesmo que à superfície da Terra (g = 9,81 m/s2). Porém, a densidade do ar diminui com a altitude, consideravelmente, para  os 30 km referidos; e a pressão atmosférica é menor. A temperatura do ar envolvente também varia com a altitude.

A pressão atmosférica decresce com a altitude, nos termos referidos em:

Considerando o gás dentro do balão como ideal (energia cinética dominante em relação à energia total), será aplicável a equação de estado dos gases ideais pV = nRT, onde p é a pressão do gás, V o seu volume,  n "o número de moles" (quantidade de matéria) e T a temperatura absoluta. Como o balão é fechado, e enquanto não rebentar, n é constante. Assim sendo, e como V = nRT/p, quando  a pressão exterior diminui, o gás contido no balão ocupará maior volume, expandindo-se cada vez mais e, excedendo os limites de elasticidade da borracha, o balão rebenta. Além disso, a densidade do ar envolvente diminui com a altitude, pelo que o efeito ascensional é também moderado na subida, mas não tanto como parece porque o volume do balão também cresce na subida. Portanto, o balão rebenta e cai com todo o equipamento.

Como os restos do balão e a carga estão longe de ser aerodinâmicos, a queda é algo travada pela resistência do ar (que cresce com a velocidade) e por isso a velocidade em queda aumenta até estabilizar gradualmente num valor denominado velocidade terminal (vt), para a qual a resistência do ar equilibra o peso, chegando-se assim a um movimento uniforme na queda, com uma velocidade terminal elevada, mas não assombrosa. algo perturbada por turbulências e oscilações resultantes da assimetria e deformabilidade do "objecto".

Espero ter correspondido ao pedido.

Guilherme de Almeida

comentou por (100 pontos)
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Sobre a velocidade de ascensão do balão: Como a pressão diminui a tendencia do balão é inflar e com isso aumentar sua velocidade de subida, porém como o ar se torna mais rarefeito isso afeta a velocidade? Como poderiamos descrever uma taxa  dh/dt que expressa a variação da altura em relação ao tempo levando em conta este fato( o aumento de velocidade causado pela diminuição de pressão)?
comentou por Galáctico (26.8k pontos)
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Para obter uma expressão dh/dt, o que seria a velocidade instantânea ascensional, seria preciso conhecer muitos parâmetros que não são facilmente acessíveis:

-- a viscosidade do ar em função de h seria um desses factores.

-- A temperatura em função de h também seria necessária; e por isso haveria que considerar a variação da temperatura com h.

O que se pode dizer é que quando o balão infla, também a massa volúmica do ar envolvente é menor, o que reduz a impulsão por unidade de volume. É difícil contornar tantas variáveis. Não tenho nem consigo obter a expressão que refere...

GA

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