Tanto quanto sei, não haveria quaisquer consequencia, quer para o Sol quer para o Sistema Solar, se este nao rodasse.
É possivel, em teoria, uma estrela ou até um planeta existir sem rotação sobre um eixo proprio. A diferença entre um corpo destes e um astro normal estaria, por exemplo, no seu campo magnético que seria mais fraco, ou calmo. No caso do Sol isso traduzir-se-ia numa diminuição da actividade solar, que poderiamos constatar pela ausencia, ou pelo menos redução no numero de, manchas solares.
O problema é que tanto quanto sabemos, não existem corpos destes. A razão pela qual os corpos têm rotação propria, sejam estrelas ou planetas, está na lei da conservação do momento angular. O momento angular é uma grandeza que mede a rotação de um sistema. É particularmente importante porque é uma quantidade conservada na medida em que se mantem constante desde que não haja uma força externa a actuar sobre o sistema que force uma mudança. Pelo que se exercessemos uma força suficientemente forte no Sol, poderíamos, em principio, parar a sua rotação.
Existe ainda a possibilidade de, no caso das estrelas, o gás primordial colapsar directamente num sol sem qualquer rotação, mas tanto quanto sei ainda não encontramos nenhum exemplo de um objecto desses.