Que tamanho um objeto no espaço precisa ter e a qual distância para gerar um eclipse na terra cobrindo 100% do planeta?

Question

Um objeto esférico, como um planeta.

Ele não pode ser maior que a Terra.

O Ideal seria se ele tivesse o menor tamanho possível.

Os 100% de cobertura pode ser de penumbra.

Answer 1

Vou tentar abranger  vários pontos de vista na resposta à sua pergunta

1. Os objectos esféricos pequenos precisam realmente de estar muito longe para cobrirem totalmente — pela penumbra — toda a superfície terrestre voltada para o Sol. Então, o seu diâmetro aparente será muito pequeno (muito menor do que o do Sol) e o suposto eclipse solar assume as características de trânsito. De facto, um trânsito é um caso particular de um eclipse, em que o objecto ocultador tem dimensões aparentes muito menores do que as do ocultado. A penumbra seria tão ténue que nem se daria por ela. A redução da luminosidade solar seria insignificante.

É o caso de um trânsito de Mercúrio, diametral (Mercúrio a passar pelo centro do disco solar). Nesse caso, a penumbra é tão ténue que nem se dá por ela. E, na melhor das hipóteses, o disco minúsculo de Mercúrio, com 13" de diâmetro aparente é insignificante face ao do Sol, de 32' = 115 600", numa proporção diametral de  1 para 8862, dando uma cobertura de área aparente de (1/8862)^2 = 0,00022 %. A penumbra teria mais de 1,9 milhões de quilómetros de diâmetro, ao chegar à Terra.

Num trânsito de Vénus, com diâmetro aparente da ordem de 1'  (e o Sol com 32', visto da Terra), a cobertura em área  é de 0,098%. A a sua penumbra também cobre muito mais do que o globo terrestre (cerca de 560 000 km de diâmetro ao chegar à Terra, face aos 12 756 km do diâmetro da Terra), e num trânsito diametral, a penumbra cobriria toda a Terra. Porém, mais uma vez a penumbra será tão ténue que nem se dará por ela, como se conclui da pequeníssima área do disco solar ocultada.

2. À distância de cerca de 697 000 km da Terra, um corpo esférico com metade do diâmetro da Terra cobriria, toda a Terra pela penumbra, na condição de o centro do planeta passar na direcção aparente do centro do Sol. Seria um corpo esférico de  6400 km de diâmetro.
Estes são valores médios, pois a distância da Terra ao Sol não é constante, nem as dos outros planetas, ao Sol, nem a distância da Lua à Terra.

3. Consideremos agora uma maior proximidade entre o objecto esférico (suposto "planeta") de diâmetro D, e a Terra. Dado o diâmetro aparente médio do Sol, visto da Terra (32'), ou seja,(1/108) rad, o comprimento do cone de sombra de qualquer objecto a uma unidade astronómica do Sol vale 108 vezes o seu diâmetro. Consideremos o caso em que a Terra intersecta a sombra do "planeta" a metade do comprimento do cone de sombra desse "planeta". O cone de sombra terá 1 000 000 km de comprimento e a superfície da Terra irá intersectar essa sombra a 500 000 km do objecto (a sua premissa).
O diâmetro da sombra (desse objecto) projectada na Terra vale então metade (D/2) do diâmetro desse objecto. E, para cada lado da sombra, estende-se a penumbra, também  com a medida D/2 (diferença entre o raio da penumbra e o raio da sombra. Assim sendo, D/2 = 500 000 km (medidos em relação à superfície da Terra para cada lado. Termos (3D/2) =14 000 km (assumindo 14 000 km como um arredondamento por excesso 12 756 km do diâmetro da Terra). D valerá então cerca de 9300 km.
Para que toda a Terra fique na penumbra, no meio do eclipse, é necessário que o centro do objecto esférico (o tal "planeta") passe pelo centro do disco solar ou próximo dele. Esse "planeta", visto da Terra apresentará um diâmetro aparente  b , tal que tal que 

b = (9300/500000) radianos = 0,0186 radianos = 1,06º,

pelo que cobrirá folgadamente o disco solar (que mede apenas, em média, 32' = 0,53º). Será um diâmetro aparente do dobro do do Sol, proporcionando eclipses solares folgadamente totais e de longa duração.
Já agora, e usando a 3.ª lei de Kepler, assumindo que esse"planeta" (agora promovido a segunda Lua) orbitasse a Terra, pode prever-se que o seu período orbital seria 1,51 vezes o da Lua (1,51x27,3 dias), ou seja, 42 dias.
No cálculo anterior entrei já com o raio terrestre, de modo que a distância entre centros (o raio da órbita dessa hipotética Lua) será 500 000 km + 6400 km = 506400 km.

Guilherme de Almeida

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Professor, a explicação foi perfeita, muito esclarecedora, muito obrigado pela ajuda.

Answer 2

É preciso que especifique melhor a sua pergunta. Um objecto a que distância da Terra?
Seria um eclipse do Sol provocado por esse objecto?
Sem informação suficiente na pergunta,  não se percebe o que pretende e pode acontecer que obtenha uma resposta que não corresponda ao que queria. Tente especificar melhor a pergunta.
Guilherme de Almeida

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Olá! Guilherme, como vai?

o ideal seria que o objeto estivesse a 500.000km de distância da Terra.
mas pode ser também o menor tamanho possível e a distancia pode ser variável.

Isso, eclipse do Sol, gerando uma sombra na terra.

 Se tiver mais duvidas me avise. Obrigado Por responder