Como calcular a energia emitida por um corpo distante?

Question

Para simplificar (muito) a minha pergunta, vamos considerar apenas a luz visível proveniente de uma estrela ou galáxia (esqueçamos toda a restante radiação, emissão de partículas, etc).

É possível calcular a energia luminosa que esse objecto liberta, com base no número de fotões que atingem um alvo numa certa unidade de tempo?

Exemplificando: se num sensor contarmos os fotões provenientes de uma estrela - depois de reflectidos por um espelho de um dado diâmetro - num intervalo de por exemplo 60 segundos, é possível determinar a energia total libertada (neste caso a do espectro visível)?

Perguntando de um modo simplista, a área do espelho pode ser considerada como fazendo parte e sendo uma ínfima fracção da superfície de uma esfera imaginária que tem por raio a distância do objecto luminoso à Terra e assim extrapolar o número total de fotões que esse objecto emite em todas direcções por unidade de tempo?

Antes de qualquer cálculo, a coisa vista assim parece que nos vai conduzir a um valor quase incompreensível. E estamos apenas a falar da energia emitida por segundo!

Ou o raciocínio está errado?

Comments

NOTA: O intervalo de 60" que referi, pode evidentemente ser alargado ou encurtado em função da quantidade de fotões recebidos. O objectivo será determinar a média de fotões por (qualquer) unidade de tempo, com a maior fiabilidade possível.

Answer 1

É claro que existe. E segue basicamente o raciocínio que o Luís refere.

E com isso determina-se a potência do Sol, a partir da constante solar, que aqui medida na Terra é da ordem de 1400 (J/s)/m^2= 1400 W/m^2 (Nota  1).  Feitas as contas, a potência do Sol é 3,846 x 10^26 W (Nota 2).

https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_luminosity

http://www4.ncsu.edu/~franzen/public_html/CH437/lec1/pdf/earth_T.pdf

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(1) - A constante solar é a energia recebida por unidade de tempo e por unidade de área colocada perpendicularmente à direcção da radiação solar. Ou seja, é a potência recebida por unidade de área orientada perpendicularmente à radiação solar e mede-se, no SI em W/m^2. Em rigor, o valor acima indicado é o valor no topo da atmosfera, para que a absorção de radiação pelo ar não entre nos cálculos. Sobre a constante solar veja-se o link https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_constant

(2) - Também se pode dizer, para utilizar prefixos convenientes, que esta potência é:
3,846 x 10^20 MW  , ou seja, 3,846 x 10^2 YW, onde o "Y" é o símbolo do prefixo yotta (10^24). Ou ainda, para quem quiser ver por extenso, algo como

384 600 000 000 000 000 000 000 000 W

Informação sobre prefixos SI aqui:
http://www4.ncsu.edu/~franzen/public_html/CH437/lec1/pdf/earth_T.pdf

Informação sobre unidades aqui:
https://www.platanoeditora.pt/?q=C/BOOKSSHOW/418
https://www.platanoeditora.pt/files/1110/8875.pdf
https://www.platanoeditora.pt/files/1110/8874.pdf

Guilherme de Almeida

Comments

Obrigado pelos esclarecimentos: mais detalhes era difícil!

Por vezes as respostas suscitam novas perguntas e é o caso. 

O cálculo para o Sol será com certeza aplicável a qualquer outra estrela. No entanto, para objectos longínquos, próximos do limite observável, será que não aumentará enormemente a margem de erro? 

Ou seja, quer porque a luz (ou outra radiação do espectro EM) já lá vem há milhares de milhões de anos, quer porque o objecto se afasta cada vez mais de nós (a acreditar na 'expansão'), quer ainda porque os fotões passam nas proximidades ou estão sujeitos a ser desviados por fortes campos gravitacionais até cá chegarem (ou mesmo porque alguns sejam capturados por buracos negros e fiquem pelo caminho), não estaremos a subestimar a energia de cada corpo observado?

Atrevendo-me a generalizar: as estimativas da energia total do Universo conhecido, não pecarão nesse caso por defeito?! 

Nota de rodapé: gostaria de poder votar em perguntas e/ou respostas, mas o meu estatuto de adolescente em astronomia não mo permite. Por isso aqui deixo o meu voto positivo e por extenso à Resposta de G. de A.

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1. Sobre a atribuição para poder votar em perguntas e respostas, essa atribuição a cada utilizador do Astronomia Q&A cabe ao owner (João Clérigo). Eu não tenho poderes administrativos para poder fazer isso.

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2. Sobre a segunda pergunta, também é possível com as outras estrelas. Dou seguidamente uma ideia geral.

O comprimento de onda correspondente à máxima emissividade está ligado à temperatura absoluta pela lei de Wien:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Wien

A potência emitida pela estrela, por vezes chamada luminosidade, é função da área da superfície da estrela e da sua temperatura absoluta, segundo a lei de Stefan-Boltzmann (*):

https://en.wikipedia.org/wiki/Stefan%E2%80%93Boltzmann_law

 A potência emitida por duas estrelas pode ser relacionada pela equação de Pogson(**), comparando o Sol (de potência/luminosidade conhecida) com a estrela em questão, tomando como ponto de partida as magnitudes absolutas (M) do Sol (+4,6)  e da estrela em questão. Sobre a equação de Pogson, veja este artigo:

http://gazetadefisica.spf.pt/magazine/article/827/pdf

Para relacionar a magnitude aparente e a magnitude absoluta, para cada estrela, utiliza-se o módulo de distância:

http://astronomy.swin.edu.au/cosmos/D/Distance+Modulus
https://lco.global/spacebook/what-is-distance-modulus/

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(*)  Segundo a Lei de Stefan-Boltzmann,    P = e A (sigma) T ⁴

P é a potência emitida (energia por segundo); e é a emissividade, que nas estrelas se pode considerar igual a 1; A  a área da superfície radiante da estrela A = 4 Pi R², considerando a estrela como uma esfera de raio R (escrevi "Pi" por não ter aqui a letra grega adequada); "sigma" é a constante de Stefan-Boltzmann (escrevi sigma e não a letra grega do mesmo nome, por não a ter aqui disponível para inserir). E T é a temperatura absoluta da superfície emissora.

Sigma = 5,67x10^–8 (W/m²)/K⁴.

Para o Sol:

P = 3,846x10²⁶ W.

T = 5778 K

Daqui pode-se, por exemplo, obter área da superfície do Sol e, seguidamente, por ser A=4xPixR², obter a medida do raio do Sol. Se fizer as contas, obterá muito perto de 700 000 km, que é o raio do Sol obtido por outros métodos, o que mostra que os cálculos são consistentes entre si.

Fazendo as contas:

3,846x10²⁶=4xPixR²x5,67x10^–8x5778⁴

Sendo Pi = 3,1416, e explicitando R², dá depois R=690 452 km, aproximação excelente tendo em conta os números arredondados que utilizei.

Fazendo os cálculos ao contrário, também com a equação de Stefan-Boltzmann, ou seja, para, sabendo R (e consequentemente A) obter P, obter-se-á um valor próximo de 3,846 x 10 ²⁶ W, valor concordante com a potência solar obtida pelo método implícito na primeira resposta
à sua pergunta inicial. Empreguei aqui várias vezes o termo "potência solar" por comodidade expositiva. O termo correcto é fluxo radiante (potência emitida sob a forma de fotões), que se mede em watts (unidade de potência).

(**) Ou por meio da equação de Stefan-Boltzmann. Veja este interessante video explicativo:
https://www.youtube.com/watch?v=FnFkb5Dw5-A

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3. O conceito de constante solar (energia recebida na Terra por unidade de tempo e de área, colocada perpendicularmente à radiação solar) poderá, havendo dispositivos sensores com a sensibilidade suficiente, ser extensivo para outras estrelas; os sensores não terão um metro quadrado (obviamente!), mas pode-se fazer a correspondente extrapolação. O método, porém só poderá ser aplicado às estrelas mais brilhantes (menor magnitude aparente). 

GA

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Relativamente à sua explicação (agradeço a paciência), vou consultar as referências e links que me deu e procurar digerir os cálculos; claro que não é coisa para uns minutos, tanto mais que o meu forte não são fórmulas e sempre fui um desastre a matemática.

Já vi o vídeo onde se refere que a luminosidade (comparada), mais a relação entre índice de côr (com filtros B-V) e a temperatura (superficial) da estrela - que é afinal a questão de emissão de um corpo negro - nos permite determinar o seu raio.

Sempre pensei que a temperatura interior de uma estrela seria função da quantidade de material (ainda) em fusão (e esse por sua vez seria dependente da idade e da massa da estrela, leia-se, da sua própria gravidade), mas que a temperatura e cor da superfície - dado o seu maior ou menor afastamento do núcleo, dependente do volume da estrela - entrasse numa equação para determinar o raio, nunca me passaria pela cabeça. Parecia-me lógico que um núcleo muito quente mas afastado da superfície (ou seja, separado por elementos resultantes da fusão inicial: He - Be - C, etc ), a poderia aquecer exactamente como um núcleo muito menos quente mas muito mais perto da superfície. Ou seja, temperaturas e cores idênticas, mas raios completamente diferentes.

Aproveitei para ver outro vídeo da mesma astrofísica, esse sobre o Big Bang. Continuo a achar uma coisa extravagante e portanto, para não fazer uma péssima figura, nem quero tocar no assunto.

Cumprimentos

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Repare que o que está em causa, para a aplicação da lei de Stefann-Boltzmann é a temperatura da superfície emissora (temperatura absoluta). E não a temperatura do núcleo da estrela.
No Sol, a temperatura da superfície emissora é da ordem de 5780 K; em Capela anda perto dos 4900 K. Não interessa, para esta questão, que a temperatura dos núcleos das estrelas seja de milhões de kelvins.

GA